Критерий Келли: математическая основа и практические ограничения
Вывод формулы, влияние ошибки в оценке вероятности, сравнение полной и дробной схем — на примерах с коэффициентами из РПЛ и еврокубков.
Критерий Келли решает одну задачу: какую долю текущего банка поставить, если известна собственная оценка вероятности события и коэффициент. Формула выглядит как f = (k × p − 1) ÷ (k − 1). Для оценки 58 % и коэффициента 1,95 расчёт даёт (1,95 × 0,58 − 1) ÷ 0,95 = 0,138, то есть 13,8 % банка.
Такая доля выглядит рискованной, и это обоснованно: полный Келли предполагает, что вероятность известна без погрешности. Ниже — откуда берётся формула, почему на практике используют дробные доли и что происходит с банком, если оценка вероятности завышена на пять процентных пунктов.
Основные выводы.
- Критерий максимизирует не среднюю прибыль на ставку, а средний геометрический темп роста банка.
- Оптимум асимметричен: удвоение доли обнуляет рост, половина доли сохраняет около трёх четвертей прироста.
- Ошибка в оценке на 5 % превращает расчётные 248 000 в 63 800 на дистанции 100 ставок при том же положительном перевесе.
- Четверть Келли при той же ошибке даёт 106 100 — рост относительно стартовых 100 000.
- Серия из десяти поражений подряд по полному Келли оставляет 22,7 % банка, по четверти — 70,4 %.
Место в серии материалов
Текст расширяет расчёты из статей о value-беттинге и флэте — там формула приведена как один из вариантов определения суммы ставки, здесь она разбирается подробно. Общий контекст — управление банкроллом.
Целевая функция критерия Келли
Если пытаться максимизировать средний арифметический банк, результат окажется абсурдным: при малейшем перевесе следовало бы ставить всё. Среднее арифметическое растёт за счёт редких крупных выигрышей, которые перевешивают частые обнуления. Но обнуление необратимо — банк, упавший до нуля, перестаёт расти.
Поэтому используют темп роста. После выигрыша банк умножается на (1 + f × (k − 1)), после проигрыша — на (1 − f). На дистанции в 100 ставок при доле выигрышей p множители перемножаются, и итог определяется произведением, а не суммой.
Численный пример. Оценка 58 %, коэффициент 1,95, стартовый банк 100 000, 100 ставок. Доля 5 % даёт ожидаемый итог 171 000, 10 % — 231 000, 13,8 % (полный Келли) — 248 000, 20 % — 205 000, 27,6 % — 94 600. Кривая имеет максимум точно в точке, указанной формулой.
| Доля банка | Прирост за ставку | Банк через 100 ставок |
|---|---|---|
| 2% | 0,243 % | 127 500 |
| 5% | 0,537 % | 171 100 |
| 10% | 0,839 % | 231 300 |
| 13,8 % (Келли) | 0,908 % | 248 000 |
| 20% | 0,717 % | 204 900 |
| 27,6 % (двойной) | −0,056 % | 94 600 |
| 35% | −1,444 % | 23 600 |
Форма кривой асимметрична: слева от вершины спад медленный — половина оптимальной доли даёт три четверти прироста. Справа — резкое падение: двойная доля даёт нулевой рост, а при дальнейшем увеличении банк сокращается, хотя каждая отдельная ставка остаётся положительной по ожидаемой ценности.
Формула и её составляющие
f = (k × p − 1) ÷ (k − 1), где k — десятичный коэффициент, p — ваша оценка вероятности.
- k × p − 1 — перевес. Это ожидаемая прибыль на единицу ставки: при 1,95 × 0,58 получается 1,131, то есть плюс 13,1 %.
- k − 1 — чистая выплата на единицу, то есть плата за риск.
- Отношение — доля, при которой перевес и риск уравновешены.
Отсюда два следствия. Если перевеса нет (k × p ≤ 1), формула даёт ноль или отрицательное значение — ставка не делается. И чем выше коэффициент при фиксированном перевесе, тем меньше доля: редкие исходы требуют консервативности.
Расчёт доли на пяти примерах
Банк 100 000 рублей. Оценки взяты из гипотетической модели — методология построения описана в отдельной статье; сумма считается по четверти Келли.
| Оценка p | Коэффициент | k × p − 1 | Полный Келли | Четверть, руб. |
|---|---|---|---|---|
| 58% | 1,95 | +0,131 | 13,79 % | 3 448 |
| 30% | 4,20 | +0,260 | 8,13 % | 2 033 |
| 62% | 1,70 | +0,054 | 7,71 % | 1 929 |
| 45% | 2,40 | +0,080 | 5,71 % | 1 429 |
| 72% | 1,40 | −0,020 | ставки нет | 0 |
Вторая строка показательна: перевес там вдвое больше первого (0,260 против 0,131), а доля меньше — 8,13 % против 13,79 %. Причина в коэффициенте 4,20: такие исходы проходят редко, и Келли автоматически снижает сумму.
Последняя строка — типичная ситуация с фаворитом вроде «Зенита» в домашнем матче против середняка РПЛ. Оценка 72 % выглядит уверенно, но цена 1,40 подразумевает 71,4 %, и перевеса практически нет.
Полный, половинный и четвертной Келли
Дробный Келли — та же формула, умноженная на коэффициент консервативности: 1/2, 1/4 или 1/8. Смысл — в асимметрии, показанной выше: снижение доли стоит немного прироста, а превышение — всего.
| Схема | Доля при перевесе выше | Прирост за ставку | Ожидаемая прибыль на ставку |
|---|---|---|---|
| Полный Келли | 13,79 % | 0,908 % | 1,806 % банка |
| Половина | 6,90 % | 0,680 % | 0,904 % банка |
| Четверть | 3,45 % | 0,396 % | 0,452 % банка |
| Флэт 2 % | 2,00 % | 0,243 % | 0,262 % банка |
Половина Келли сохраняет 75 % темпа роста при вдвое меньшей ставке. Это основная причина, по которой полный Келли почти не применяют на практике: три четверти результата достаются за половину риска.
Ошибка в вероятности на пять пунктов
Ключевой момент. Вы оценили вероятность в 58 %, поставили по формуле 13,79 % банка, но истинная вероятность — 53 %. Ошибка невелика: столько даёт неучтённая травма ключевого игрока или устаревшая форма.
Ставка при этом остаётся выгодной: 1,95 × 0,53 = 1,0335, перевес +3,35 %. Настоящая оптимальная доля — (1,0335 − 1) ÷ 0,95 = 3,53 %. Вы же ставите почти вчетверо больше.
Расчёт. При истинной вероятности 53 % доля 13,79 % даёт прирост −0,449 % за ставку: банк 100 000 через 100 ставок превращается в 63 800. Четверть Келли (3,45 %) на тех же данных даёт +0,059 % и итог 106 100. Флэт 2 % — 104 900. Половина Келли (6,90 %) выходит почти в ноль: 100 500.
Вывод неприятный, но важный: положительный перевес не спасает от разорения, если доля рассчитана под завышенную оценку. Полный Келли превращает небольшую ошибку в системный минус, дробный оставляет запас прочности.
Просадки: чем оборачивается агрессивная доля
Темп роста — это средний сценарий. Реальный путь к нему лежит через серии поражений; их глубину можно оценить: банк умножается на (1 − f) столько раз, сколько ставок подряд не заходит.
| Схема | Доля | После 10 поражений | После 15 поражений |
|---|---|---|---|
| Полный Келли | 13,79 % | 22,7 % банка | 10,8 % |
| Половина | 6,90 % | 48,9 % | 34,2 % |
| Четверть | 3,45 % | 70,4 % | 59,1 % |
| Флэт 2 % | 2,00 % | 81,7 % | 73,9 % |
Серия из десяти поражений при доле выигрышей 58 % — событие редкое, но за пару сотен ставок вполне реальное; сколько ставок нужно для отличия закономерности от случайности, разобрано в статье о дисперсии и выборке. Разница между «осталось 22,7 %» и «осталось 70,4 %» — это разница между выходом из игры и рабочей просадкой.
Когда критерий Келли не применяют
- Нет собственной оценки вероятности. Если p взято из коэффициента, формула по построению даст ноль: перевеса нет.
- Оценка грубая. При точности «плюс-минус 5 пунктов» расчёт выше показывает, чем это заканчивается на полной доле.
- Одновременные ставки. Формула выведена для последовательных независимых событий; при пяти ставках в один вечер доли складываются и суммарный риск оказывается выше расчётного.
- Связанные события. Тотал и «обе забьют» в одном матче не независимы, и считать их доли по отдельности некорректно.
- Лимиты и мелкий банк. Если 3 % банка ниже минимальной ставки букмекера, схема превращается в фикцию.
Важно. Пересчёт доли от текущего банка перед каждой ставкой — обязательная часть схемы. Если считать от стартовой суммы, вы получите не Келли, а обычный флэт с крупным процентом и без его защитных свойств.
Порядок действий на практике
- Оцените вероятность независимо от линии и зафиксируйте её до того, как посмотрите коэффициент.
- Проверьте перевес: k × p − 1. Если он меньше 0,05, разумнее пропустить — ошибка оценки съедает такой запас.
- Посчитайте полную долю и умножьте на 1/4 (при проверенной модели — на 1/2).
- Ограничьте результат потолком: например, не больше 5 % банка на событие, каким бы ни был расчёт.
- Пересчитывайте банк после каждого расчётного дня, а не после каждой ставки внутри дня.
- Ведите журнал оценок отдельно от журнала ставок: без него вы не узнаете, завышаете ли вероятности систематически. Календарь ближайших игр — в разделе матчей.
Частые вопросы
Что делать, если формула даёт больше 20 % банка
Такой результат почти всегда означает не гигантский перевес, а завышенную оценку вероятности. Проверьте расчёт: доля 20 % при коэффициенте около 2,00 требует уверенности порядка 60 %, то есть расхождения с рынком в десять пунктов. Практичное решение — жёсткий потолок доли независимо от того, что показала формула.
Подходит ли Келли для ставок на низкие коэффициенты
Формально да, но доля получится крупной: при коэффициенте 1,30 и небольшом перевесе она легко выходит за 20 % банка. Риск при этом реальный, а прирост маленький. На таких ценах дробный Келли с потолком практически неотличим от флэта, и проще использовать флэт.
Как считать долю, если ставок в день несколько
Простой рабочий приём — посчитать доли по отдельности, сложить их и, если сумма превышает выбранный дневной лимит, пропорционально уменьшить каждую. Это не точное решение задачи для одновременных ставок, но оно удерживает суммарный риск дня в известных границах.
Через сколько ставок видно, что схема работает
Быстрее всего проверяется не прибыль, а калибровка оценок: события, которым вы дали 60 %, должны происходить примерно в 60 % случаев. Прибыль на сотне ставок почти ничего не доказывает, а систематическое завышение вероятностей видно уже на двух-трёх сотнях прогнозов.
Материал носит информационный характер и не является призывом к участию в азартных играх. Ставки связаны с риском потери денег; ставьте только те суммы, потерю которых можете себе позволить. 18+. Если игра перестала быть развлечением — см. нашу статью об ответственной игре и обратитесь за помощью.
